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​2020年大专毕业生士兵文化科目统一考试【高等数学】大纲:拉格朗日中值定理(1)

时间:2019-08-15 09:50 来源:准维教育军队考试网 作者:准维教育 阅读:

2020年大专毕业生士兵文化科目统一考试【高等数学】大纲:拉格朗日中值定理(1)


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  一、考试范围与要求

  1.理解函数的概念,会求函数的定义域及值域。

  2.掌握极限的四则计算法则;理解两个重要极限,会用重要极限求相同类型函数的极限;掌握无穷小量与无穷大量的概念和性质,会利用等价无穷小求相关的函数的极限。会利用洛必达法则求函数的极限。

  3.理解函数连续的概念,了解闭区间上连续函数的性质。

  4.掌握导数概念及其几何意义,会根据导数定义求函数在某点处的导数;掌握导数的四则运算及复合函数、隐函数的求导法则。

  5.理解原函数及不定积分的概念;会利用换元积分法和分部积分法等求简单一元函数的不定积分。

  6.理解定积分的概念、性质和几何意义;会用微积分基本公式求解简单函数的定积分;会用定积分计算简单平面图形的面积。张为臻

  7.掌握罗尔定理、拉格朗日中值定理及其简单应用;掌握函数单调性和曲线凹凸性的判断方法及其应用;掌握简单函数的极值和最值的计算方法及其应用。

  8.了解微分方程及其解的概念;掌握可分离变量的微分方程、一阶线性微分方程和二阶常系数齐次线性微分方程的解法。

  二、2020年大专毕业生士兵军校考试需掌握“拉格朗日中值定理”的重点难点:

  1、拉格朗日中值定理又称拉氏定理,是微分学中的基本定理之一,它反映了可导函数在闭区间上的整体的平均变化率与区间内某点的局部变化率的关系。拉格朗日中值定理是罗尔中值定理的推广,同时也是柯西中值定理的特殊情形,是泰勒公式的弱形式(一阶展开)。

  2、定理表述

  如果函数f(x)满足:

  (1)在闭区间[a,b]上连续;

  (2)在开区间(a,b)内可导;

  那么在开区间(a,b)内至少有一点902397dda144ad34ee1c007cd4a20cf430ad85ae.jpg.png使等式2.png成立。

  3、其他形式

  记3.png,令4.png,则有5.png上式称为有限增量公式。

  我们知道函数的微分6.png是函数的增量Δy的近似表达式,一般情况下只有当|Δx|很小的时候,dy和Δy之间的近似度才会提高;而有限增量公式却给出了当自变量x取得有限增量Δx(|Δx|不一定很小)时,函数增量Δy的准确表达式,这就是该公式的价值所在。

  4、验证推导

  辅助函数法:

  已知7.png8.png上连续,在开区间9.png内可导,构造辅助函数10.png可得g(a)=g(b)又因为13.png8.png上连续,在开区间9.png内可导,所以根据罗尔定理可得必有一点14.png使得15.png由此可得16.png变形得17.png定理证毕。

  5、定理推广

  (1)推论

  如果函数7.png在区间8.png上的导数18.png恒为零,那么函数7.png在区间8.png上是一个常数。

  (2)证明

  在区间8.png上任取两点19.png由拉格朗日中值定理得20.png

  由于已知21.png,即22.png,因为23.png是区间8.png上的任意两点,所以7.png在区间8.png上的函数值总是相等的,即函数在区间上是一个常数。

  (3)推广

  如果函数7.png在开区间9.png内可导且24.png25.png都存在。

  令26.png27.png,则在开区间9.png内至少存在一点28.png使得29.png.

  6、有限增量公式的θ

  拉格朗日中值定理有一个变形,即所谓的有限增量公式:f(x0+Δx)-f(x0)=f'(x0+θΔx)Δx,0<θ<1。其中的30.png有一个很重要的性质:

  若31.png32.png点连续,且33.png,则34.png

  证明 由于f''(x)在32.png点连续,所以有

  (1)35.png;

  (2)36.png

  将(1)和(2)同时代入有限增量公式,可得37.png,利用f"(x)在x0点处的连续性及f"(x0)≠0,在等式两边同取极限(令38.png),即可得结论。


相关链接:

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