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​2020年大专毕业生士兵文化科目统一考试【高等数学】大纲:罗尔定理

时间:2019-08-13 09:57 来源:准维教育军队考试网 作者:准维教育 阅读:

2020年大专毕业生士兵文化科目统一考试【高等数学】大纲:罗尔定理


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  一、考试范围与要求

  1.理解函数的概念,会求函数的定义域及值域。

  2.掌握极限的四则计算法则;理解两个重要极限,会用重要极限求相同类型函数的极限;掌握无穷小量与无穷大量的概念和性质,会利用等价无穷小求相关的函数的极限。会利用洛必达法则求函数的极限。

  3.理解函数连续的概念,了解闭区间上连续函数的性质。

  4.掌握导数概念及其几何意义,会根据导数定义求函数在某点处的导数;掌握导数的四则运算及复合函数、隐函数的求导法则。

  5.理解原函数及不定积分的概念;会利用换元积分法和分部积分法等求简单一元函数的不定积分。

  6.理解定积分的概念、性质和几何意义;会用微积分基本公式求解简单函数的定积分;会用定积分计算简单平面图形的面积。张为臻

  7.掌握罗尔定理、拉格朗日中值定理及其简单应用;掌握函数单调性和曲线凹凸性的判断方法及其应用;掌握简单函数的极值和最值的计算方法及其应用。

  8.了解微分方程及其解的概念;掌握可分离变量的微分方程、一阶线性微分方程和二阶常系数齐次线性微分方程的解法。

  二、2020年大专毕业生士兵军校考试需掌握“罗尔定理”的重点难点:

  1、罗尔定理描述如下:

  如果 R 上的函数 f(x) 满足以下条件:(1)在闭区间 [a,b] 上连续,(2)在开区间 (a,b) 内可导,(3)f(a)=f(b),则至少存在一个 ξ∈(a,b),使得 f'(ξ)=0。

  2、证明过程

  证明:因为函数 f(x) 在闭区间[a,b] 上连续,所以存在最大值与最小值,分别用 M 和 m 表示,分两种情况讨论:

  (1)若 M=m,则函数 f(x) 在闭区间 [a,b] 上必为常函数,结论显然成立。

  (2)若 M>m,则因为 f(a)=f(b) 使得最大值 M 与最小值 m 至少有一个在 (a,b) 内某点ξ处取得,从而ξ是f(x)的极值点,又条件 f(x) 在开区间 (a,b) 内可导得,f(x) 在 ξ 处取得极值,由费马引理推知:f'(ξ)=0。

  (3)另证:若 M>m ,不妨设f(ξ)=M,ξ∈(a,b),由可导条件知,f'(ξ+)<=0,f'(ξ-)>=0,又由极限存在定理知左右极限均为 0,得证。

  3、几何意义

  若连续曲线y=f(x) 在区间 [a,b] 上所对应的弧段 AB,除端点外处处具有不垂直于 x 轴的切线,且在弧的两个端点 A,B 处的纵坐标相等,则在弧 AB 上至少有一点 C,使曲线在C点处的切线平行于 x 轴。

  4、几种特殊情况

  (1)有界开区间上的有界函数

  若函数1.png在区间2.png上连续且可导,并有3.png,则至少存在一个4.png,使得。

5.png

  (2)有界区间上的无界函数

  若函数1.png在区间2.png上连续且可导,并有6.png(或7.png),则至少存在一个8.png,使得5.png

  (3)无界区间上的有界函数

  若函数1.png在区间8.png上连续且可导,并有9.png,则至少存在一个10.png,使得5.png

  (4)无界区间上的无界函数

  若函数1.png在区间8.png上连续且可导,并有13.png(或7.png),则至少存在一个10.png,使得5.png

  (5)半无界区间上的有界函数

  若函数1.png在区间[14.png)上连续且可导,并有15.png,则至少存在一个16.png,使得5.png

  (6)半无界区间上的无界函数

  若函数1.png在区间[14.png)上连续且可导,并有17.png(或7.png),则至少存在一个16.png,使得5.png


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